Tập xác định của phương trình

Biến đổi vế trái của phương trình

Phương trình thu được sau khi biến đổi

Lời giải thu được

Cái này tui search mạng nhá

xét x=y,x>y và x<y chú ý tới điều kiện x,y thuộc -1;1 nữa 

Từ hệ phương trình \(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\right)+\left(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\right)=2\)

Ta có: \(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\le\sqrt{\left(x-2018\right)-\left(x-2019\right)}=1\) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 2019

Tương tự: \(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\le1\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = 2019

Nên: \(\left(\sqrt{x-2018}-\sqrt{x-2019}\right)+\left(\sqrt{y-2018}-\sqrt{y-2019}\right)\le2\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2019\end{matrix}\right.\)

Kết luận nghiệm pt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2019\end{matrix}\right.\)

\(x\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)+y\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)=2019\sqrt{2019}+2018\sqrt{2018}\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)+y\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)=2018\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)+\sqrt{2019}\)

\(\Leftrightarrow x+y.\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)^2=2018+\sqrt{2019}\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y\left(4037-2\sqrt{2019.2018}\right)=4037-\sqrt{2019.2018}\)

\(\Leftrightarrow x+4037.y-4037=2y\sqrt{2019.2018}-\sqrt{2019.2018}\)

\(\Leftrightarrow x+4037y-4037=\left(2y-1\right).\sqrt{2019.2018}\)(1)

Do \(x;y\) hữu tỉ \(\Rightarrow x+4037y-4037\) và \(2y-1\) đều là số hữu tỉ

Mà \(\sqrt{2019.2018}\) là số vô tỉ

\(\Rightarrow\)đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=0\\x+4037y-4037=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{4037}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x\ge-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x+4\right)}+2019\sqrt{x+4}-2019=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}\left(1-\sqrt{x+4}\right)-2019\left(1-\sqrt{x+4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+5}-2019\right)\left(1-\sqrt{x+4}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+4}=1\\\sqrt{x+5}=2019\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2019^2-5\end{matrix}\right.\)

Chú ý:

\(\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x+1\right)^2=\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x^2+2x+1\right)=\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x^2+2x\right)+4\)

\(=\left(x^2+2x+2\right)^2\)

\(x^2+\left(x+1\right)^2+\left(x^2+x\right)^2\)

\(=\left(x^2+x\right)+x^2+x^2+2x+1\)

\(=\left(x^2+x\right)^2+2x^2+2x+1\)

\(=\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1\)

\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)

èo =))

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left(\sqrt{x-2018};\sqrt{y-2019};\sqrt{z-2020}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a;b;c>0\)

\(\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a-4}{a^2}+\frac{4b-4}{b^2}+\frac{4c-4}{c^2}=3\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{4a-a}{a^2}+1-\frac{4b-4}{b^2}+1-\frac{4c-4}{c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-4a+4}{a^2}+\frac{b^2-4b+4}{b^2}+\frac{c^2-4c+4}{c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-2}{a}\right)^2+\left(\frac{b-2}{b}\right)^2+\left(\frac{c-2}{c}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2018}=2\\\sqrt{y-2019}=2\\\sqrt{z-2020}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2022\\y=2023\\z=2024\end{matrix}\right.\)

\(2x^2+4x+2=21-3y^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)^2=3\left(7-y^2\right)\)

Do \(\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow7-y^2\ge0\) \(\Rightarrow y^2\le7\) (1)

Mà \(2\left(x+1\right)^2\) là một số tự nhiên chẵn và 3 là số lẻ

\(\Rightarrow7-y^2\) là một số chẵn \(\Rightarrow y^2\) là một số lẻ (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow y^2\) là số chính phương lẻ và nhỏ hơn 7

\(\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

\(\Rightarrow2\left(x+1\right)^2=3\left(7-1\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=3\\x+1=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(a_n=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow a_n\) là số chính phương với mọi n tự nhiên

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

- Từ PT ( I ) ta có : \(x-1+2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1+2\sqrt{y}\right)=0\)

Thấy : \(\sqrt{x}+2\sqrt{y}+1\ge1>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

- Thay x = 1 vào PT ( II ) ta được :

\(y=2019-x=2019-1=2018\)

Vậy ...